1、设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内单调有界，${x_n}$为数列，下列正确的是(B)

(A)、若$\{x_n\}$收敛，则${f(x_n)}$收敛

(B)、若$\{x_n\}$单调，则${f(x_n)}$收敛

(C)、若${f(x_n)}$收敛，则$\{x_n\}$收敛

(D)、若${f(x_n)}$单调，则$\{x_n\}$收敛

A选项因为$f(x)$不一定连续，所以在$x_n$收敛于不连续点时，$f(x_n)$不收敛

C选项当$f(x)$为常函数时，不管$\{x_n\}$收不收敛，$f(x_n)$都会收敛

D选项在$\{x_n\}$不断增加（不收敛），因为$f(x)$单调有界，所以$f(x_n)$单调

故选择B.

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2、设函数$y=y(x)$由参数方程 $\begin{cases} x = x(t) \\ y = \int_0^{t^2} \ln(1+u) \, du \end{cases}$确定，其中$x(t)$是初值问题 $\begin{cases} \frac{dx}{dt}-2te^{-x}=0 \\ x|_{t=0}=0 \, du \end{cases}$的解，求$\frac{d^2y}{dx^2}$.

根据题目中的信息，求出$x(t)$的表达式，然后再利用参数方程求导的方法进行求解则可。

解出$x(t)=ln\,(t^2+1)$

然后可得$\frac{dy}{dx}=(t^2+1)ln\,(t^2+1)=e^xx$

最后得出$\frac{d^2y}{dx^2}=e^x(x+1)$.

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3、设 $f(x)$ 是区间 $[0,+\infty)$ 上具有连续导数的单调增加函数，且$f(0)=1$.对任意$t∈[0,+\infty)$，直线$x=0,x=t$，曲线$y=f(x)$以及x轴围成的曲边梯形绕$x$轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数$f(x)$的表达式.

根据题目中的具体数值关系构造关系式，设旋转体侧面积为$S_侧$，体积为$V$，则有$S_侧=2V$.

$S_侧=2π\int_0^t|f(x)|\sqrt{1+f'^2(x)}\,dx$

$$V=\iint\limits_Dy \,d\alpha$$

求解则可，得结果$f(x)=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$.

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$(1)$ 证明积分中值定理：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则至少存在一点$\eta∈[a,b]$，使得$\int_a^b\,f(x)\,dx=f(\eta)(b-a)$；

$(2)$ 若函数$h(x)$具有二阶导数，且满足$h(2)>h(1),h(2)>\int_2^3\,h(x)\,dx$，证明存在至少一点$\varepsilon∈(1,3)$，使得$h''(\varepsilon)<0$.

$(1):$ 因为$\eta$是不确定的，想将其单独放到一边，得$f(\eta)=\frac{\int_a^b\,f(x)\,dx}{b-a}$，分子上若能拆成$f(x)$的最小值和最大值，根据介质定理，就可以解决问题了。故设$f(x)$在区间$[a,b]$上的最小值为$m$，最大值为$M$，则$m\le\frac{\int_a^b\,f(x)\,dx}{b-a}\le M$，根据介质定理可知$f(\eta)=\frac{\int_a^b\,f(x)\,dx}{b-a}$，即证！

$(2):$ 题目中给出的信息是函数值，要证明的是导数，联系函数与导数的桥梁之一为拉格朗日中值定理，这道题就是这样解决的。

根据题意可得$h'(x_1)=\frac{h(2)-h(1)}{2-1}>0,\,\,x_1∈(1,2)$

$h(2)>h(\eta),\,\,\eta∈(2,3]$，有$h'(x_2)=\frac{h(\eta)-h(2)}{\eta-2}<0,\,\,x_2∈(2,\eta)$

在$[x_1,x_2]$上对导函数$h'(x)$使用拉格朗日中值定理，可得：

$$h''(\varepsilon)=\frac{h'(x_1)-h'(x_2)}{x_1-x_2}<0,\,\,\varepsilon∈(x_1,x_2)$$

即证！

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2025/8/14 11:07

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