$若f''(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆方程为x^2+y^2=2，则函数f(x)在区间(1,2)内(B).$

$(A)、有极值点，无零点$

$(B)、无极值点，有零点$

$(C)、有极值点，有零点$

$(D)、无极值点，无零点$

首先需要知道：$f(x)$在某点的曲率圆，其在此点的函数值、导数值、二阶导数值、曲率值等，与$f(x)$在此点的值都一致！

由上述可得：$f(x)$在$(1,1)$点处的切线就为曲率圆在此点处的切线，然后这条切线是恰好经过$(2,0)$的，又因为曲率圆在该点处为凸的， 所以$f(x)$也是凸的，故$f(x)$不会经过$(2,0)$，会在这点的左侧，所以得出B.

---

$\lim\limits_{n\to+\infty}\int_0^1\,e^{-x}sin\,nx\,dx=0$

观察可得，这是一个由两个不同类型函数组合而成的积分，并且存在x和n两个变量，需要将x转换为n，因为是求的n趋向于正无穷。

利用分部积分法——“反对幂指三”，可得：

$$\int_0^1\,e^{-x}sin\,nx\,dx=\frac{n-e^{-1}n\,cos\,n-sin\,n\,e^{-1}}{1+n^2}$$

对其求极限则可，最终结果为0.

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$(1)、证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上连续，在(a,b)内可导，则存在\varepsilon∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(\varepsilon)(b-a).$

$(2)、证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0,\delta)\,(\delta>0)内可导，且\lim\limits_{x\to0^+}f'(x)=A，则f'_+(0)存在，且f'_+(0)=A.$

$(1):$ 一般这种题目会想到构造函数F(x)，若能得出F(a)=F(b)，就能得出$F'(\varepsilon)=0$，此时$F'(x)$就为题目中要求证的式子。

那么这下，问题就变为找题目式子的原函数，设：

$$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$

显然，$F(a)=F(b)$，即证！

$(2):$ 还是利用第二问会利用第一问的式子或思路的想法来解决问题！

根据定义：$f'(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$，函数$f(x)$在$[0,x]$上连续，在$(0,x)$内可导，此时利用(1)题中的式子。

有$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(\varepsilon),\,\varepsilon∈(0,x)$.

因为$\lim\limits_{x\to0^+}f'(x)=A$，且$\varepsilon$被夹在0到x中，所以也是趋向于0.

故$f'_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}f'(\varepsilon)=\lim\limits_{\varepsilon\to0^+}f'(\varepsilon)=A$.

即证！

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2025/7/23 14:55

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