1、设$m,n$均是正整数，则反常积分$\int_0^1\frac{\sqrt[m]{ln^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}}$的收敛性()

A.仅与m的取值有关

B.仅与n的取值有关

C.与m，n的取值都有关

D.与m，n的取值都无关

首先说明一点，这道反常积分题，是考研史上最难的一道，再难都不会超过这么难了！

反常积分首先看 暇点 个数，将大区间中的各个暇点划分到各自小区间，题目中的x=0和x=1都为暇点，故将区间划分为两个部分。

$$\int_0^1\frac{\sqrt[m]{ln^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}}=\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{\sqrt[m]{ln^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}}+\int_{\frac{1}{2}}^1\frac{\sqrt[m]{ln^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}}$$

分别计算出满足收敛的条件，看是否与m，n有关则可，若不会，则观看下面哔哩哔哩学习视频。

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2、$\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{n}{(n+i)(n^2+j^2)}=(D)$

A.$\int_0^1\,dx\int_0^x\frac{1}{(1+x)(1+y^2)}\,dy$

B.$\int_0^1\,dx\int_0^x\frac{1}{(1+x)(1+y)}\,dy$

C.$\int_0^1\,dx\int_0^1\frac{1}{(1+x)(1+y)}\,dy$

D.$\int_0^1\,dx\int_0^1\frac{1}{(1+x)(1+y^2)}\,dy$

可以将题目中的式子“拆开”计算！

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{n}{(n+i)(n^2+j^2)}=(\sum_{i=1}^n\frac{1}{n+i})(\sum_{j=1}^n\frac{n}{n^2+j^2})$$

分别按照定积分定义写出积分，再相乘就为D选项.

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3、已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加.则当l=12cm，w=5cm时，它的对角线增加的速率为 3cm/s

典型的物理应用

根据描述写式子，增加的速率为长度对时间的导数，那么就可得到$l(t)$和$w(t)$，以及它们的值，$l(t_0)=12,w(t_0)=5,l'(t)=2,w'(t)=3$

对角线关于时间的表达式为$S=\sqrt{l^2+w^2}$，对其求导，得到的就为对角线增加速率，带入上述值，则可求得最终结果。

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4、设函数$f(x)$在闭区间$[0,1]$上连续，在开区间$(0,1)$内可导，且$f(0)=0,f(1)=\frac{1}{3}$.证明：存在$\varepsilon∈(0,\frac{1}{2})$，$\eta∈(\frac{1}{2},1)$，使得$f'(\varepsilon)+f'(\eta)=\varepsilon^2+\eta^2$.

经典的双中值问题

求证中带有导数，想到拉格朗日中值定理，将对应的变量看成一个整体，可以得到

$$f'(\varepsilon)-\varepsilon^2+f'(\eta)-\eta^2=0$$

如果变量式子在对应区间上分别有为0的情况，这个问题便解决了。设$h(x)=f(x)-\frac{1}{3}x^3$

利用拉格朗日中值定理有：

$$h'(\varepsilon)=\frac{h(\frac{1}{2})-h(0)}{\frac{1}{2}-0}$$

$$h'(\eta)=\frac{h(1)-h(\frac{1}{2})}{1-\frac{1}{2}}$$

上面两个式子相加，可得到

$$h'(\varepsilon)+h'(\eta)=2[h(1)-h(0)]=0$$

即证！

这里虽然不能找到两个区间分别有变量使得式子为0，但是相加可以为0，这也是一种技巧方法。

更新日志

2025/7/13 09:39

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• 02f5a-docs:高数-真题-10🚀于 2025/7/13

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