1、设$a_n>0\,(n=1,2,...),S_n=a_1+a_2+...+a_n$，则数列$\{S_n\}$有界是数列$\{a_n\}$收敛的(B).

A、充分必要条件

B、充分非必要条件

C、必要非充分条件

D、即非充分也非必要条件

因为有$a_n>0$，所以$S_n$是单调递增的。

若$S_n$有界，所以$S_n$收敛，极限存在，$a_n=S_n-S_{n-1}=0$，故此时$a_n$收敛。

但是$a_n=1$，$S_n$就为$n$，不收敛，所以推不回去，综上，为充分非必要条件。

---

(1)、证明：方程$x^n+x^{n-1}+...+x=1\,(n为大于1的整数)$在区间$(\frac{1}{2},1)$内有且仅有一个实根；

(2)、记(1)中的实根为$x_n$，证明$\lim\limits_{n\to\infty}x_n$存在，并求此极限.

第一问较为简单，利用零点定理结合单调性就可证明，不再赘述。

第二问，这里可以轻松得出$x_n=\frac{1}{2}$，所以是知道极限求证的问题，只需要证明$|x_n-\frac{1}{2}|<1$，这道题就完美解决了！

设$f(x)=x^n+x^{n-1}+...+x-1$，所以$f'(x)=nx^{n-1}+...+1>1$，根据拉格朗日定理可知$|\frac{f(x_n)-f(\frac{1}{2})}{x_n-\frac{1}{2}}|>1$.

所以有$0<|x_n-\frac{1}{2}|<|f(x_n)-f(\frac{1}{2})|=\frac{1}{2^n}<1$，由夹逼定理可得$\lim\limits_{n \to \infty}|x_n-\frac{1}{2}|=0$.

即证！且$\lim\limits_{n\to \infty}x_n=\frac{1}{2}$.

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2025/7/18 01:12

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• 2d63e-docs:高数-真题-12🚀于 2025/7/18

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