$设函数f(x)=ln\,x+\frac{1}{x}.$

$(1) 求f(x)的最小值$

$(2) 设数列\{x_n\}满足ln\,x_n+\frac{1}{x_{n+1}}<1.证明\lim\limits_{n\to\infty}x_n存在，并求此极限.$

第一问直接求导，判断在何处取得最小值，带入计算则可。

重点是第二问，因为式子中下标既存在n又存在n+1，不好判断数列的单调性，所以需要将下标统一.根据第一问的函数式子可得$ln\,x+\frac{1}{x}\ge 1$. 所以有$ln\,x_n+\frac{1}{x_n}\ge 1$，结合第二问给出的关系可得：$\frac{1}{x_n}>\frac{1}{x_{n+1}}$.故数列$\{x_n\}$是单调递增的（单调性得证）.

因为$ln\,x_n<1-\frac{1}{x_{n+1}}$，所以可得$ln\,x_n<1\to x_n<e$，故数列$\{x_n\}$有界（有界性得证）.

综上所述，数列$\{x_n\}$极限存在得证！

设极限为$A$，所以有$ln\,A+\frac{1}{A}\le 1$，$ln\,A+\frac{1}{A}\ge 1$，得到$A=1$.

---

$设曲线L的方程为y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}ln\,x\,(1\le x\le e)$

$(1) 求L的弧长.$

$(2) 设D是由曲线L，直线x=1，x=e及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标.$

第一题直接套用公式则可轻松解决，这里主要是想强调一下平面区域形心横坐标的求法！

$横坐标的计算公式为x=\frac{\iint\limits_Dx\,dxdy}{\iint\limits_D\,dxdy}$

$纵坐标的计算公式为y=\frac{\iint\limits_Dy\,dxdy}{\iint\limits_D\,dxdy}$

知道这个公式，套用则可，得到结果为$\frac{3(e^4-2e^2-3)}{4(e^3-7)}$

更新日志

2025/7/23 07:54

查看所有更新日志

• f2c4f-docs:高数-真题-13🚀于 2025/7/23
• e6e71-docs:高数-真题-13🚀于 2025/7/19

版权所有

版权归属：代码・生 活・THINKING

许可证：署名 4.0 国际 (CC-BY-4.0)