$已知函数f''(x,y)=2(y+1)e^x,f_x'(x,0)=(x+1)e^x,f(0,y)=y^2+2y，求f(x,y)的极值.$

首先得根据题目将f(x,y)表达式计算出来，根据二阶导数和对应的偏导数可以求得。

$得f(x,y)=y^2e^x+2e^xy+xe^x.$

$再根据无条件极限的计算方法计算，求出驻点，求出对应的A、B、C，带入值比较.$

$可得驻点(0,-1)，带入后得A=1、B=0、C=2，所以得极小值-1.$

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$已知函数f(x)=\int_x^1\sqrt{1+t^2}dt+\int_1^{x^2}\sqrt{1+t}dt,求f(x)零点的个数.$

判断零点个数问题，看到f(x)的表达式，直接求导分析，在分析时，技巧是观察该函数表达式的特殊点，可以节约许多分析的时间。

$f'(x)=(2x-1)\sqrt{1+x^2}$

$所以f(x)在x∈(-\infty,\frac{1}{2})递减,在x∈(\frac{1}{2},+\infty)递增.$

$因为f(1)=0，所以f(\frac{1}{2})<0，因为f(-1)>0，由此可知f(x)存在2个零点.$

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$已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成反比，$

$现将一初始温度为120℃的物体放在20℃的恒温介质中冷却，$

$30min后该物体温度降至30℃，若要将该物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间？$

根据题意可得：

$w'(t)=k(w-20)$

$解得w(t)=Ce^{kt}+20$

因为t=0时，w为120，t=30时，w为21，所以可得上述w表达式中的各个参数值，最终表达式为：

$w(t)=100e^{-\frac{ln\,10}{30}t}+20$

又因为需要计算w=21时，还需要经过多少时间，带入计算可得当t=60时，w=21，所以还需要经过30min.

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2025/7/23 14:55

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