$以y=x^2-e^x和y=x^2为特解的一阶非齐次线性微分方程为？$

题目中说明了为一阶非齐次线性微分方程，所以要想到形式为$y'+p(x)y=q(x).$

要求这个微分方程，不外乎求q(x)和p(x)，知道非齐次特解，可求得齐次解，这样也就可以将p(x)求解出来，再设出q(x)，带入一个特解，则可求得q(x).

齐次特解为$x^2-(x^2-e^x)=e^x$，所以$e^x$满足$y'+p(x)y=0$，带入可得p(x)=-1.

所以非齐次方程为$y'-y=q(x)$，带入$x^2$可得$q(x)=2x-x^2$.

即得一阶非齐次线性微分方程为$y'-y=2x-x^2$.

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$已知函数f(x)在(-\infty,+\infty)上连续，且f(x)=(x+1)^2+2\int_0^xf(t)dt，当n\ge 2时，f^{(n)}(0)=?$

这道题我首先想到的是求出f(x)表达式，然后再求n次导函数，但是经过计算，发现f(x)表达式不要求，所以需要换个思路。

多次求导后会发现存在一个递推式，根据这个递推式求解。

最后得结果$5×2^{n-1}$.

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$设函数f(x)=\int_0^1|t^2-x^2|\,dt\,(x>0)，求f'(x)，并求f(x)的最小值.$

最值问题，可以想到利用导数来解决。

根据题设条件容易想到需要讨论x的取值范围，$分为x∈(0,1)和x∈(1,+\infty)$，分别讨论f(x)在x不同取值范围时的表达式.

$当x∈(0,1)时$

$f(x)=\int_0^x(x^2-t^2)dt+\int_x^1(t^2-x^2)dt$

$化简为f(x)=\frac{4}{3}x^3-2x+\frac{1}{3}$

$当x∈(0,+\infty)时$

$f(x)=x^2-\frac{1}{3}$

故可得f'(x)可以得到，然后令其为0，求出极限值，该极小值就为最小值.

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$已知函数z=z(x,y)由方程(x^2+y^2)z+ln\,z+2(x+y+1)=0所确定，求z=z(x,y)的极值.$

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$\text{设D是由曲线}y=\sqrt{1-x^2}\,(0\le x \le 1)与 \,(0\le t \le \frac{π}{2})\text{所围成的平面区域}.$

$\text{求D绕x轴}\text{旋转一周}\text{所得旋转体的}\text{体积和表面积}.$

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已知函数 $f(x)$ 在 $[0, \frac{3π}{2}]$ 上连续，

在 $(0, \frac{3π}{2})$ 内是函数 $\frac{\cos x}{2x-3π}$ 的一个原函数，$f(0)=0.$

(1) 求 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{3π}{2}]$ 上的平均值。

(2) 证明：$f(x)$ 在区间 $(0, \frac{3π}{2})$ 内存在唯一零点。

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2025/8/19 14:00

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• 9cdc4-docs:每日计划8.19🚀于 2025/8/19

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