求曲线$y=\frac{x^{1+x}}{(1+x)^x}\,(x>0)$的斜渐进线方程.

给出了x的取值范围，且要求我们求斜渐进线方程，自然想到$\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{y}{x}$.

对其求解，得$k=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{x})^x}=\frac{1}{e}$.

现在进行求解截距$b=\lim\limits_{x\to +\infty}y-\frac{1}{e}x$.

在化简此类问题时，尽量将其包括在一个整体中计算，这样不会出现误差。

可得$b=\lim\limits_{x\to +\infty}x(\frac{x^x}{(1+x)^x}-\frac{1}{e})$，将幂指函数转换为指数函数，方便计算。

故$b=\lim\limits_{x\to +\infty}x(e^{xln\frac{x}{1+x}}-e^{-1})$，进一步提出$e^{-1}$得$b=\lim\limits_{x\to +\infty}e^{-1}x(e^{xln\frac{x}{1+x}+1}-1)$.

得$b=\lim\limits_{x\to +\infty}e^{-1}x(xln\frac{x}{1+x}+1)$.是无穷乘0的类型，需要倒代换。

最后的$b=\frac{1}{2e}$.

所以得到斜渐进线方程$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2e}$.

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已知$f(x)$连续，且$\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=1$，$g(x)=\int_0^1f(xt)dt$，求$g'(x)$，并证明$g'(x)$在$x=0$处连续.

因为需要求证$g'(x)$在$x=0$处连续，所以需要根据定义将$g'(0)$求出来，并将$g'(x)$不在$x=0$处的表达式求出来，然后取极限，证明该极限和该点的值相等则可。

题目中给出了$g(x)$的表达式，显然需要对其换元，得$g(x)=\frac{1}{x}\int_0^xf(u)du\,(x\ne 0)$，所以有$g'(x)=\frac{xf(x)-\int_0^xf(u)du}{x^2}\,(x\ne 0)$.

需要使用定义求解出$g'(0)$，有$g'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}$.

此时需要知道$g(0)$，根据题目中的式子$g(0)=0$，带入求解可得$g'(0)=\frac{1}{2}$.

再根据上面$x\ne 0$的$g'(x)$表达式，对其求x趋于0的极限也得为$\frac{1}{2}$.

即证！

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2025/8/7 02:54

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• b2c87-docs:高数-真题-20🚀于 2025/8/7

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