微分方程$y'''-y=0$的通解$y=$.

这道题容易误判为只有一个解，导致通解出错。

首先得有个概念：方程有几阶，就会有几个根。

这道题除了实数解，还有两个复数解，这样做，结果才能正确。

特征方程为$r^3-1=0$，解得$r_1=1,r_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,r_3=r_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$.

所以可得通解为$C_1e^x+C_2e^{-\frac{1}{2}}cos\frac{\sqrt{3}}{2}x+C_3e^{-\frac{1}{2}}sin\frac{\sqrt{3}}{2}x$.

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已知函数$f(x)=\frac{x|x|}{1+x}$，求曲线$y=f(x)$的凹凸区间及渐近线.

因为存在绝对值，显然需要分区间讨论，这里注意，每讨论x的一个区间时，就将所有题目中需要的信息给求出完，这样可以更加清晰地表示。

由题目可知x的取值范围为$(-\infty,-1)∪(-1,+\infty)$，显然需要从$x=-1,x=0$处分开。

$x=-1$显然为间断点。

当$x>0$时，$f(x)=\frac{x^2}{1+x},f''(x)=\frac{2}{(1+x)^3}$，所以有$f''(x)$恒大于0，即$f(x)$在$x∈(0,+\infty)$是凹的。

$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)dx=+\infty$，故在x趋于正无穷时，没有水平渐近线。

$\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=1,\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)-x=-1$，所以存在一条斜渐进线$y=x-1$。

当$x<0且x\ne -1$时，$f(x)=\frac-{x^2}{1+x},f''(x)=\frac-{2}{(1+x)^3}$.

故当$x∈(-\infty,-1)$时，$f''(x)$恒大于0，即$f(x)$在$x∈(-\infty,-1)$是凹的。

当$x∈(-1,0)$时，$f''(x)<0$，即$f(x)$在$x∈(-1,0)$是凸的。

$\lim\limits_{x\to -1}f(x)=\infty$，所以$x=-1$为$f(x)$的垂直渐近线。

$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-1,\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)+x=1$，所以存在一条斜渐进线$y=-x+1$。

综上，即是所有分析。

更新日志

2025/8/6 07:41

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• 34397-docs:高数-真题-21🚀于 2025/8/6

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