几何意义

对于二重积分，其有着和一元积分类似的几何意义，不过二重积分是在三维空间中的，是以在xoy面上的区域D为底，f(x,y)为顶曲面，围成的一个物体的体积。

也是通过微分法，将xoy面划分为无数个小矩形面积A，然后累加则可。

表示方法如下：

$$\iint \limits_D f(x, y) \,dA$$

二重积分的性质

$若在D上，f(x,y)\le g(x,y)，则有\iint \limits_Df(x,y)dφ\le\iint \limits_Dg(x,y)dφ$

但要注意只要有一点$(x_0,y_0)$使得$f(x_0,y_0)<g(x_0,y_0)$，则后者就为

$$\iint \limits_Df(x,y)dφ<\iint \limits_Dg(x,y)dφ$$

因为是体积，可以笼统地使用底乘高表示，取f(x,y)在定义域内的最小值m，最大值M，区域面积S，则整体体积V必然大于等于mS，小于等于MS

和一元积分类似，二重积分也有正负之分，所以得到绝对值的关系

$$|\iint \limits_Df(x,y)dφ|\le\iint \limits_D|f(x,y)|dφ$$

二重积分也存在积分中值定理，如下：

$若f(x,y)在D上连续，则\iint\limits_Df(x,y)dφ=f(ξ,η)dφS，其中(ξ,η)∈D，S为D的面积$

常见解题思路

二重积分这一章主要就是化简加积分，但这个化简就值得细细说明了，难点也就在这，当然还有比较题、证明题等的。

在计算积分值时，不外乎在两种坐标系下进行，一是直角坐标系，二是极坐标系，搞清楚使用哪个坐标系，则问题就解决一半了。

对于极坐标系下的计算通常来说比较容易，但需要注意将r和θ交换次序的题目。

对于直角坐标系下的计算，需要注意化简，可以采取函数性质化简、轮换对称性、交换次序等方式将冗余的方程消去。

在比较积分大小时，要特别注意积分区域和被积函数之间的关系，根据这些关系判断往往是解题点。

在证明俩个积分之间的大小时，积分上限通常是一个值，这样就可以将积分上限统一换为x并移向一侧，这样构造一个新的函数g(x)，就可以转换为求函数单调性问题了。

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轮换对称性，其实就是积分区域关于y=x对称，则此时将被积函数的x，y对换，积分值不变，当然积分区域肯定也不变，因为关于y=x对称呀。

利用函数性质化简就是看被积函数f(x,y)关于什么对称并结合积分区域范围进行的消去操作。

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2025/6/21 13:46

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