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外观

函数、极限、连续

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2025-05-18

数列极限

常用结论和定理

lim⁡n→∞a1n+a2n+...+amnn=max{a1,a2,...,an} (a1,...,am>0)\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_m^n}=max\{a_1,a_2,...,a_n\}\,(a_1,...,a_m>0)

lim⁡n→+∞∣a1x+a2x+...+amx∣1x=max{∣a1∣,∣a2∣,...,∣an∣}\lim\limits_{n\to +\infty}|a_1^x+a_2^x+...+a_m^x|^{\frac{1}{x}}=max\{|a_1|,|a_2|,...,|a_n|\}

lim⁡n→−∞∣a1x+a2x+...+amx∣1x=min{∣a1∣,∣a2∣,...,∣an∣}\lim\limits_{n\to -\infty}|a_1^x+a_2^x+...+a_m^x|^{\frac{1}{x}}=min\{|a_1|,|a_2|,...,|a_n|\}

常见无穷大的量级比较：当n→∞n\to \infty时，有：

ln n<<np<<an<<n!<<nn  (a>1,p>0)ln\,n << n^p << a^n << n! << n^n\,\,(a>1,p>0)

P级数的量级，当n→∞n\to \infty时，有：

∑k=1n1kP=1+12P+...+1nP={收敛于常数当 P>1 时 (收敛)∫1n1xdx ln n当 P=1 时∫1n1xP n1−P1−P当 P<1 时\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^P}=1+\frac{1}{2^P}+...+\frac{1}{n^P}=\begin{cases} 收敛于常数 & \text{当 } P > 1 \text{ 时 (收敛)} \\ \int_1^n\frac{1}{x}dx~ln\,n & \text{当 } P = 1 \text{ 时} \\ \int_1^n\frac{1}{x^P}~\frac{n^{1-P}}{1-P} & \text{当 } P < 1 \text{ 时} \end{cases}

阶乘的量级，当n→∞n\to \infty时，有：

n!∼2πn(ne)n,  n!n∼nen!\sim\sqrt{2πn}(\frac{n}{e})^n,\,\,\sqrt[n]{n!}\sim\frac{n}{e}

洛必达法则的离散形式：Stolz–Cesàro 定理

若数列 {xn}\{x_n\} 和 {yn}\{y_n\} 满足

  • {yn}\{y_n\} 严格单调递增且 lim⁡n→∞yn=+∞\displaystyle\lim_{n\to\infty} y_n = +\infty；

  • 极限 lim⁡n→∞xn−xn−1yn−yn−1\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_n - x_{n-1}}{y_n - y_{n-1}} 存在（有限或 ±∞\pm\infty），

  • lim⁡n→∞xnyn=lim⁡n→∞xn−xn−1yn−yn−1.\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{x_n - x_{n-1}}{y_n - y_{n-1}}.

适用于分子是前n项和，分母是简单函数的形式。

n项和、n项积

n项积是可以通过取指数转化为n项和问题的，所以在这里，我们着重研究n项和问题。

解题流程

若为n项积，则先转为elne^{ln}形式，这样统一化为n项和，统一处理。

将n项和写为∑\sum形式，若有“△+□”“△+□”形式存在，则判断这两者是否是同阶的，若为同阶，则利用定积分定义解决，否则，使用夹逼定理或等价求解（小题利用等价则可，是在n趋向于无穷的等价，阶数小的，可以直接忽略）。

若采用夹逼定理，一定是对相加部分中的低阶进行放缩，不然，会夹不住！

基本公式

lim⁡n→∞∑k=1n1nf(kn)=∫01f(x)dx\lim\limits_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}f(\frac{k}{n})=\int_0^1f(x)dx

推广公式

lim⁡n→∞∑k=can+b1n+df(k+en+g)=∫0af(x)dx\lim\limits_{n\to \infty}\sum_{k=c}^{an+b}\frac{1}{n+d}f(\frac{k+e}{n+g})=\int_0^af(x)dx

如果定义中的kanb\frac{k^a}{n^b}被限制在函数内部，则可根据a，b阶数等价替换。举个例子：求lim⁡n→∞∑k=1nsin kn2\lim\limits_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n sin\,\frac{k}{n^2}， 由于n的阶数大于k的阶数，所以可视为无穷小，等价于kn2\frac{k}{n^2}，这个就容易利用定积分定义计算。

三角函数数列极限

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2025/7/18 03:15
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