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函数、极限、连续

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2025-05-18

函数

反函数

极限

函数在某点处的极限与该点值没有关系！

求极限的方法

1、利用四则运算求极限

2、利用基本极限求极限

(1)、lim⁡x→∞sin⁡xx=1(1)、\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 1

(2)、lim⁡x→0(1+x)1x=e(2)、\lim\limits_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e

(3)、lim⁡x→∞(1+1x)x=e(3)、\lim\limits_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e

(4)、lim⁡x→0ax−1x=ln⁡a(4)、\lim\limits_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a

(5)、lim⁡n→∞nn=1(5)、\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n] n = 1

(6)、lim⁡n→∞an,(a>0)=1(6)、\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n] a ,(a > 0) = 1

(7)、lim⁡x→∞anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0bmxm+bm−1xm−1+...+b1x+b0={anbn,n=m0,n<m∞,n>m(7)、\lim\limits_{x \to \infty} \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+b_0} = \begin{cases} \frac{a_n}{b_n}, & n=m \\ 0, & n < m \\ \infty, & n > m\end{cases}

(8)、lim⁡n→∞xn={0,∣x∣<1∞,∣x∣>11,x=1不存在,x=−1(8)、\lim\limits_{n \to \infty} x^n = \begin{cases} 0, & |x| < 1 \\ \infty, & |x| > 1 \\ 1, & x = 1 \\ 不存在, & x = -1 \end{cases}

(9)、lim⁡n→∞enx={0,x<0∞,x>01,x=0(9)、\lim\limits_{n \to \infty} e^{nx} = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \infty, & x > 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}

3、利用等价无穷小代换求极限

这个方法在有些时候可以将问题变得特别简单！

常见的等价无穷小有：

(1)、x∼sin⁡x∼tan⁡x∼arcsin⁡x∼arctan⁡x∼ln⁡(1+x)∼ex−1(1)、x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim \ln (1 + x) \sim e^x - 1

(2)、(1+x)a−1∼ax(2)、(1 + x)^a - 1 \sim ax

(3)、1−cosax∼a2x2(3)、1 - cos^a x \sim \frac{a}{2}x^2

(4)、ax−1∼xln⁡a(4)、a^x - 1 \sim x \ln a

(5)、x−sin⁡x∼x36(5)、x - \sin x \sim \frac{x^3}{6}

(6)、tan⁡x−x∼x33(6)、\tan x - x \sim \frac{x^3}{3}

(7)、x−ln⁡(1+x)∼x22(7)、x - \ln (1 + x) \sim \frac{x^2}{2}

(8)、arcsin⁡x−x∼x36(8)、\arcsin x - x \sim \frac{x^3}{6}

(9)、x−arctan⁡x∼x33(9)、x - \arctan x \sim \frac{x^3}{3}

(10)、设f(x)和g(x)在x=0的某领域内连续，且lim⁡x→0f(x)g(x)=1，则∫0xf(t)dt∼∫0xg(t)dt.洛必达可证(10)、设f(x)和g(x)在x=0的某领域内连续，且\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=1，则\int_0^xf(t)dt \sim \int_0^xg(t)dt.洛必达可证

第10点在求不定积分时，内层函数不好求时可以换为在0处等价的好求的函数进行计算。

注意

这些是等价关系，不是等量关系，在使用时需要一定条件！

1、乘除关系随意换

2、加减关系在一定条件下可以换

对于加法，求 a+βa + β 的极限时，要保证 aβ≠−1\frac{a}{β} \neq -1；

对于减法，求 a−βa - β 的极限时，要保证 aβ≠1\frac{a}{β} \neq 1。

平常在使用泰勒公式替换函数时，就是因为替换后的多项式满足上面的加减关系条件才能计算极限的！

4、洛必达法则求极限

虽然求极限中有所谓的7种未定式，但是最终都可以化为两种：00和∞∞\frac{0}{0}和\frac{\infty}{\infty}。

对于 1∞1^{\infty} 而言，可以化为标准型 (1+a)β(1+a)^β，求这个的极限可转换为求 aβaβ 的极限，若为 AA，则结果为 eAe^A。

5、利用泰勒公式求极限

(1)、(1)、

6、利用夹逼准则求极限

例题

求极限lim⁡n→∞[1n2+1+2n2+2+...+nn2+n]求极限 \lim\limits_{n \to \infty} [\frac{1}{n^2 + 1} + \frac{2}{n^2 + 2} + ... + \frac{n}{n^2 + n}]

左侧是所有最小值相加，右侧是所有最大值相加，两侧的极限都趋于相同的值，这个值就为该极限。

这道题还可以用一种更快的思路：因为是n趋向于正无穷，分母存在n方，所以可以直接求出所有分式分子的和，看n方的系数是多少，该极限就为多少。

7、利用定积分定义求极限

在有些时候，夹逼准则是不好使用的，但是长得和利用夹逼准则的题类似，此时，很有可能利用定积分定义计算！

例题

求极限lim⁡n→∞[1n+1+1n+2+...+1n+n]求极限 \lim\limits_{n \to \infty} [\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{n + n}]

提出可爱因子 1n\frac{1}{n}，这题迎刃而解，但是需要注意确定积分的上下限。

8、利用单调有界求极限

该方法主要是用于数列的极限。

例题

设x1>0,xn+1=12(xn+1xn),n=1,2,3,...求极限lim⁡n→∞xn.设 x_1 > 0, x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{1}{x_n}), n=1,2,3,... 求极限 \lim\limits_{n \to \infty} x_n.

连续

题目

(1)、证明：对任意的正整数 n ，都有 1n+1<ln⁡(1+1n<1n)\frac{1}{n+1} < \ln (1 + \frac{1}{n} < \frac{1}{n}) 成立.

(2)、设 an=1+12+...+1n−ln⁡n(n=1,2,3...)a_n = 1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n} - \ln n (n=1,2,3...) ，证明数列 an{a_n} 收敛.

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2025/6/21 11:33
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