求解高阶导数

求2阶以上的导数就是高阶导数了，一般可以使用莱布利兹公式、泰勒公式、构造递推公式。

莱布利兹公式常用于包含幂函数与其他函数相乘的形式，从过不断求导可将幂函数化为0，这样也就解决问题了。

莱布利兹公式为：

$$f(x)g(x)$$

泰勒公式常用于求某点处的高阶导数值，通过泰勒公式展开得到的式子与麦克劳林公式相等解得$f'(0)$(一般是求0处的高阶导数值)。

泰勒公式为：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}x^n$$

麦克劳林公式就是泰勒公式将f(x)在x=0处展开，常见函数的麦克劳林公式：

$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

$$\frac{1}{1-x}=$$

$$(1+x)^α=$$

$$sin\,x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$

$$arcsin\,x=$$

$$cos\,x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$$

$$arccos\,x=$$

$$tan\,x=$$

$$arctan\,x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$$

$$ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$$

具体怎样使用呢？举个例子吧，求 $xln(1-2x)$ 在x=0处的n(n>2)阶导数。

构造递推公式是考研范围内最难的求高阶导数的题型了，通常使用莱布利兹公式构造递推公式，然后根据求导次数为奇数和偶数分别得出最终表达式。

举个例题：求f(x)=arcsinx的n阶导数。

更新日志

2025/6/21 13:46

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