不定积分

注意原函数存在条件，若f(x)连续，则其必有原函数；若f(x)在包含存在第一类间断点和无穷间断点的区间内，其必无原函数；若f(x)存在震荡间断点，则不一定存在原函数。

f(x)的原函数一定是可导的，对一个分段函数求原函数时，特别需要注意这点！不要带有两个不同的常数变量，这样可能导致不可导。

定积分

定积分的几何意义就是f(x)围成的面积，是有正负的，f(x)全在x轴上方则结果为正，f(x)全在x轴下方则结果为负，f(x)既有在x轴上方又有在x轴下方则结果是正负之和。

最基本的数学定义为：不停地划分小区间，小区间中的最大区间都趋于0，在每个小区间中取一点$\xi_i$，对应的$f(\xi_i)$就为高，这样就是无穷多个小矩形相加之和。

$$\int_a^b f(x) \,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i$$

上面的定义是随意划分小区间，公式不好看，我们可以划分为统一长度的小区间，这样的定义规整。

$$\int_a^b f(x) \,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(a+\frac{b-a}{n}i) \frac{b-a}{n}$$

将a，b分别令为0，1，则可得：

$$\int_0^1 f(x) \,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(\frac{i}{n}) \frac{1}{n}$$

需要注意的是定积分存在和不定积分存在的充分必要条件并不相同。

• f(x)在[a, b]上连续，则$\int_a^bf(x) \,dx$存在
• f(x)在[a, b]上单调，则$\int_a^bf(x) \,dx$存在
• f(x)在[a, b]上有界，且只有有限个间断点，则$\int_a^bf(x) \,dx$存在
• $\int_a^bf(x) \,dx$在[a, b]上存在，则f(x)在区间内必有界

变限积分

变限函数$F(x)=\int_a^xf(t)\,dt$

如果其中的$f(t)$连续，则$F(x)$可导；如果$f(x)$可积，则$F(x)$连续，但在间断点处导数不一定存在，需要进行分析。

对于可求导的变限积分有

$$[\int_{g(x)}^{f(x)}h(t)\,dt]'=h[f(x)]{f(x)}'-h[g(x)]{g(x)}'$$

积分不等式

反常积分

总体分为两大类：无界函数，无穷区间！

在遇到一个反常积分时，要观察是否需要拆分，在遇到一个f(x)区间上存在两个及以上的 瑕点 或区间无穷或前两者同时存在时，要拆分到每个区间只有一个 瑕点 或无穷趋向为止。

举个例子：求$\int_{-\infty}^0\frac{1}{x}dx$

因为在此反常积分中存在一个暇点$x=0$，还有个趋于$\infty$的区间，所以拆分为两部分。

拆为$\int_{-\infty}^{-1}\frac{1}{x}dx+\int_{-1}^0\frac{1}{x}dx$。

反常积分散敛性

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若要反常积分存在，则必须拆分后的每个反常积分都存在才行，而对于反常积分存在，我们称为该反常积分收敛，否则称为该反常积分发散，这类收敛发散问题 是具有一定难度，并且是常考的！

但是也是有一定解题规律的，一般采用定性的方式判断，这样不仅快速而且正确率高！

其本质也就是比阶的问题，特殊点就带有$ln\,x$，但想理解这个，还得从更加直观的几何角度来看待这个问题。

• $\int_a^b\frac{1}{(x-a)^p}dx，p<1收敛，p\ge1发散$
• $\int_a^b\frac{1}{(b-x)^p}dx，p<1收敛，p\ge1发散$
• $\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx，p>1收敛，p\le1发散，a>0$

伽马函数

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有一种特殊的反常积分，形如：$\int_0^{+\infty}x^αe^{-x}dx$，这个值为多少呢？

其结果为$α!$，其中，$0!=1,({-\frac{1}{2})!=\sqrt π}$

每次计算时需要计算到$0!$或$(-\frac{1}{2})!$为止。

有些时候$e$的幂是$x^2$，此时需要进行换元，将前面$x^α$中拿一个$x$凑成$d(x^2)$，再令$x^2=t$，这样转换为上述形式进行计算！

接下来举几个例子：

$(1)、\int_0^{+\infty}x^3e^{-x}dx=3×2×1×0!=6$

$(2)、\int_0^{+\infty}x^{\frac{1}{2}}e^{-x}dx=\frac{1}{2}×(-\frac{1}{2})!=\frac{\sqrt π}{2}$

$(3)、\int_0^{+\infty}x^3e^{-x^2}\,dx=\frac{1}{2}\int_0^{+\infty}x^2e^{-x^2}\,d(x^2)=\frac{1}{2}\int_0^{+\infty}te^{-t}\,dx=\frac{1}{2}$

ok，通过上面3个例子应该可以理解这种算法了，以后遇见伽马函数就这样计算，快速且正确！

定积分的应用

不外乎分为几何应用和物理应用，前者在理解的基础上背好公式，后者重理解和知道常见的物理公式。

几何应用

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对于几何应用，虽然许多课本上使用的是一元积分，但我更中意武忠祥老师书上的二重积分，因为此方法无论面积还是体积都能用一种思路进行解决！

假设在x∈[a, b]上有个不小于0的f(x)，要求其面积，利用一元积分就是$\int_a^bf(x)dx$，利用二重积分则可这样表达 $\int_a^bdx\int_0^{f(x)}1dy$或$\iint_D1dφ$。

对于求体积更是如此，使用二重积分会让问题更加简单。

使用一个通用的场景来解释，比如有一块区域D需要围绕着y=ax+b（不在D内）旋转一圈，求次旋转体的体积。这样怎样做呢？

有个非常容易理解的思路：在区域D取一个微小的φ，所以以此小区域绕y=ax+b的体积$V_φ=2πr(x, y)dφ$，其中$r(x, y)$为区域φ到y=ax+b的距离。 $r(x, y)=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{x^2+y^2}}$。

这样可得整个区域D绕y=ax+b的体积为$V=2π\iint_Dr(x, y)dφ$，这样包含了所有情况，书本上的绕x轴或y轴不过是y=ax+b的特殊情况罢了。

在遇到绕x或y轴求体积时，可以直接利用对应公式，除此之外，全部使用上述二重积分方法则可。

• 绕x轴旋转：$V_x=2π\iint_Df(x)dφ=2π\int_a^bdx\int_0^{f(x)}f(x)dy=π\int_a^bf(x)^2dx$
• 绕y轴旋转：$V_y=2π\iint_Dxdφ=2π\int_a^bdx\int_0^{f(x)}xdy=2π\int_a^bxf(x)dx$

然后就是求弧长和侧面积，这两者直接用公式解决则可，原理就是不断用两点距离进行积分。

• 在直角坐标系下的弧长：$s=\int_a^b\sqrt{1+{y'}^2}dx$
• 在参数方程下的弧长：$s=\int_α^β\sqrt{{x_t'}^2+{y_t'}^2}dt$
• 在极坐标系下的弧长：$s=\int_α^β\sqrt{{r(θ)}^2+{r(θ)'}^2}dθ$

对应的侧面积很简单，只需对弧长的被积函数乘以2π和|y|则可。

• 在直角坐标系下的侧面积：$S=2π\int_a^b|y|\sqrt{1+{y'}^2}dx$
• 在参数方程下的侧面积：$S=2π\int_α^β|y(t)|\sqrt{{x_t'}^2+{y_t'}^2}dt$
• 在极坐标系下的侧面积：$S=2π\int_α^β|r(θ)sin θ|\sqrt{{r(θ)}^2+{r(θ)'}^2}dθ$

一般来说，y都会是大于0或小于0，不会出现既有大于0又有小于0的情况，可以根据具体情况去掉绝对值。

物理应用

常见的物理应用就是求压强、求做功大小、求质心...

更新日志

2025/7/16 14:54

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