方程组理论

方程组的三种形式

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• 方程组形式，分为齐次方程组和非齐次方程组

• 向量组形式

• 矩阵形式

解的判定

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设一个m行n列的系数矩阵A，则有以下信息：

• 列数为n（未知数的个数）

• 秩为有效方程个数（约束条件个数）

• 自由变量个数为n-r(A)=未知数个数-约束条件个数

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$齐次方程组\begin{cases}r(A)=n\iff 唯一零解（只有零解）\\ r(A)<n\iff 无穷多解（有非零解）\end{cases}$

$非齐次方程组\begin{cases}r(A)=r(A,b)=n\iff 唯一解\\ r(A)=r(A,b)<n\iff 无穷多解\\ r(A),r(A,b)\iff 无解\\r(A)=m\Rightarrow 有解\end{cases}$

注意

• $方程组加减消元\iff 矩阵初等行变换$

$若A经过初等行变换化为B（或A左乘行满秩矩阵得到B），则\begin{cases}Ax=0和Bx=0同解\\A和B的行向量组等价\\A和B的列向量组线性关系相同\end{cases}$

• $若A为m×n矩阵且m<n，则Ax=0必有非零解$

• $若Ax=b为非齐次方程组，则b\ne 0，r(A)>0$

• $若非齐次方程组有不止一个解，则必有无穷解$

解的结构

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• $基础解系是解向量组的极大无关组$

• $基础解系满足的条件：1.是解；2.线性无关；3.个数=n-r(A)$

• $齐次通解为基础解系中向量的线性组合，即$

• $非齐次通解为齐次通解+非齐次特解，即$

• $解空间是基础解系中向量生成的向量空间，即全体解向量的集合$

注意

• $只有齐次方程组才有基础解系，基础解系是一个向量组，而不是一个向量$

• $齐次方程组有无数个基础解系，每个基础解系中的向量个数为n-r(A)$

• $不能说齐次方程组有n-r(A)个基础解系，当α_1,α_2,α_3是基础解系时，不能说α_1是一个基础解系$

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• $\xi_1是Ax=0的一个基础解系\Rightarrow n-r(A)=1$

• $\xi_1、\xi_2、\xi_3是Ax=0的三个线性无关的解\Rightarrow n-r(A)\ge 3$

• $\xi_1、\xi_2、\xi_3是Ax=0的三个两两无关的解\Rightarrow n-r(A)\ge 2$

• $\eta_1、\eta_2、\eta_3是Ax=b的三个线性无关的解\Rightarrow n-r(A)+1\ge 3$

• $\eta_1、\eta_2、\eta_3是Ax=b的三个互不相等的解\Rightarrow n-r(A)+1\ge 2$

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• $齐次方程组中，线性无关的解向量个数=基础解系中的向量个数=解空间的维数=自由变量的个数=n-r(A)$

解的性质

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这里解的性质和高数部分的微分方程解的性质类似。

• $齐\pm齐=齐$

• $非齐\pm齐=非齐$

• $非齐-非齐=齐$

• $是齐解\pm不是齐解=不是齐解$

$若\xi_1,\xi_2,...,\xi_s是齐次解，则k_1\xi_1+k_2\xi_2+...+k_s\xi_s是齐次解$

$若\eta_1,\eta_2,...,\eta_s是非齐次解，则k_1\eta_1+k_2\eta_2+...+k_s\eta_s \begin{cases}是齐次解 & 当k_1+k_2+...+k_s=0 \\ 是非齐次解 & 当k_1+k_2+...+k_s=1\end{cases}$

$若\eta_1,\eta_2,...,\eta_s是线性无关的非齐次解，则\eta_1-\eta_2,\eta_2-\eta_3,...,\eta_{s-1}-\eta_s是线性无关的齐次解$

$若\xi_1,\xi_2,...,\xi_s是线性无关的齐次解，\eta是非齐次解，则\eta,\eta+\xi_1,\eta+\xi_2,...,\eta+\xi_s为线性无关的非齐次解$

$齐次方程组线性无关解的个数为n-r(A)$

$非齐次方程组线性无关解的个数为n-r(A)+1$

重要思维：向量组与方程组转化

$记A=(α_1,α_2,...,α_m),B=(β_1,β_2,...,β_s),C=(γ_1,γ_2,...,γ_s).$

$α_1,α_2,...,α_m线性相关\iff Ax=0有非零解.$

$b可由α_1,α_2,...,α_m线性表示\iff Ax=b有解（若表示方法不唯一，则有无穷解，否则，只有唯一解）.$

$k_1α_1+k_2α_2+...+k_mα_m=0\iff A\begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_m \end{pmatrix}=0\iff \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_m \end{pmatrix}为Ax=0的解.$

$k_1α_1+k_2α_2+...+k_mα_m=b\iff A\begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_m \end{pmatrix}=b\iff \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_m \end{pmatrix}为Ax=b的解.$

$AB=0\iff B的每个列向量β_i均为Ax=0的解.$

$AB=C\iff B的每个列向量β_i均为Ax=γ_i的解.$

方程组理论与A的伴随矩阵结合

当r(A)<n，则有以下结论

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• $AA^*=A^*A=0$

• $A^*的列向量为Ax=0的解$

• $A的列向量为A^*x=0的解$

• $Ax=β有无穷多解\Rightarrow A^*β=0$

• $A的行（列）向量与A^*的列（行）向量正交$

当r(A)=n-1，则有以下结论

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• $r(A^*)=1,r(A)+r(A^*)=n$

• $A^*的非零向量为Ax=0的基础解系$

• $A的n-1个无关列向量为A^*x=0的基础解系$

• $Ax=β有无穷多解\iff A^*β=0\,\,(β\ne 0)$

更新日志

2025/8/1 10:45

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• d366b-docs:线代-线性方程组🚀于 2025/8/1
• bea7a-docs:高数🚀于 2025/7/16

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