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向量组

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2025-07-27

向量组理论

  • k1α1+k2α2+...+knαn称为α1,α2,...,αn的一个线性组合.k_1α_1+k_2α_2+...+k_nα_n称为α_1,α_2,...,α_n的一个线性组合.

  • α1,α2,...,αn的全部线性组合，称为α1,α2,...,αn生成的空间.α_1,α_2,...,α_n的全部线性组合，称为α_1,α_2,...,α_n生成的空间.

  • α1,α2,...,αn所生成空间的维数，称为秩.α_1,α_2,...,α_n所生成空间的维数，称为秩.

  • 若α1,α2,...,αn中存在一个向量可由其余向量线性表示，则称α1,α2,...,αn线性相关.若α_1,α_2,...,α_n中存在一个向量可由其余向量线性表示，则称α_1,α_2,...,α_n线性相关.

  • 若α1,α2,...,αn中任意一个向量均不可由其余向量线性表示，则称α1,α2,...,αn线性无关.若α_1,α_2,...,α_n中任意一个向量均不可由其余向量线性表示，则称α_1,α_2,...,α_n线性无关.

  • 线性无关且能表示出整体组中任一向量的部分组，称为极大无关组.线性无关且能表示出整体组中任一向量的部分组，称为极大无关组.

  • 秩=无关向量个数≤向量个数.秩=无关向量个数\le 向量个数.

  • 秩=生成空间维数≤向量维数.秩=生成空间维数\le 向量维数.

  • 秩<向量个数  ⟺  相关.秩<向量个数\iff 相关.

  • 向量维数<向量个数  ⟹  相关.向量维数< 向量个数 \implies 相关.

  • 秩=向量个数  ⟺  无关.秩=向量个数\iff 无关.

  • n个无关的n维向量可表示任一n维向量.n个无关的n维向量可表示任一n维向量.

  • 增加向量个数  ⟹  更可能相关，不降秩.增加向量个数\implies 更可能相关，不降秩.

  • 增加向量维数  ⟹  更可能无关，不降秩.增加向量维数\implies 更可能无关，不降秩.

  • 两两非零正交  ⟹  无关.两两非零正交\implies 无关.

  • 若n维向量组α1,α2,...,αm的秩为r，则与其正交的空间维数为n−r.若n维向量组α_1,α_2,...,α_m的秩为r，则与其正交的空间维数为n-r.

向量组A和向量组B，若A和B可相互线性表示，则称向量组A和向量组B等价。

  • B可由A表示  ⟺  AX=B有解  ⟺  r(A)=r(A,B)  ⟹  r(A)≥r(B).B可由A表示\iff AX=B有解\iff r(A)=r(A,B)\implies r(A)\ge r(B).

  • 向量组A、B等价  ⟺  A、B可相互表示  ⟺  r(A)=r(B)，且A可由B表示  ⟺  r(A)=r(B)=r(A,B).向量组A、B等价\iff A、B可相互表示\iff r(A)=r(B)，且A可由B表示\iff r(A)=r(B)=r(A,B).

  • 矩阵等价  ⟺  A、B可通过初等变换转化  ⟺  存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B  ⟺  r(A)=r(B)，且A、B同型.矩阵等价\iff A、B可通过初等变换转化\iff 存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B\iff r(A)=r(B)，且A、B同型.

  • 若A、B同型。向量组等价  ⟹  矩阵等价.若A、B同型。向量组等价\implies 矩阵等价.

  • 若A、B同型。矩阵等价⇏矩阵行（列）等价  ⟹  行（列）向量组等价.若A、B同型。矩阵等价\not\Rightarrow 矩阵行（列）等价\implies 行（列）向量组等价.

秩的理论

秩的理解

  • 向量空间角度——秩是生成向量空间的维数.

  • 向量组角度——秩是线性无关向量的个数.

  • 矩阵角度——秩是非零子式的最高阶数.

  • 方程组角度——秩是有效约束方程的个数.

秩的公式

0≤r(Am×n)≤min{m,n}.0\le r(A_{m×n})\le min\{m,n\}.

max{r(A),r(B)}≤r(A,B)≤r(A)+r(B).max\{r(A),r(B)\}\le r(A,B)\le r(A)+r(B).

max{r(A),r(B)}≤r(AB)≤r(A)+r(B).max\{r(A),r(B)\}\le r \begin{pmatrix} A \\B \end{pmatrix}\le r(A)+r(B).

r(A±B)≤r(A±B,B)=r(A,B)≤r(A)+r(B).r(A\pm B)\le r(A\pm B,B)=r(A,B)\le r(A)+r(B).

r(A±B)≤r(A±BB)=r(AB)≤r(A)+r(B).r(A\pm B)\le r\begin{pmatrix} A\pm B \\B \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} A \\B \end{pmatrix}\le r(A)+r(B).

r(A)+r(B)−n≤r(AB)≤min{r(A),r(B)}.r(A)+r(B)-n\le r(AB)\le min\{r(A),r(B)\}.

r(A)=r(kA)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT). (k≠0)r(A)=r(kA)=r(A^T)=r(A^TA)=r(AA^T).\,(k\ne 0)

r(A,B)=r(ATBT)≠r(AB)=r(AT,BT).r(A,B)=r\begin{pmatrix} A^T \\B^T \end{pmatrix}\ne r\begin{pmatrix} A \\B \end{pmatrix}=r(A^T,B^T).

r(A∗)={nr(A)=n1r(A)=n−10r(A)<n−1r(A^*) = \begin{cases} n & r(A) = n \\ 1 & r(A) = n-1 \\ 0 & r(A) < n-1 \end{cases}

注意

  • 乘可逆矩阵内，秩不变

  • 左乘列满秩矩阵，秩不变

  • 右乘行满秩矩阵，秩不变

矩阵乘法的理解

k1α1+k2α2+...+kmαm称为α1,α2,...,αm的一个线性组合.k_1α_1+k_2α_2+...+k_mα_m称为α_1,α_2,...,α_m的一个线性组合.

由α1,α2,...,αm的若干个线性组合组成的向量组，称为α1,α2,...,αm的重组向量组.由α_1,α_2,...,α_m的若干个线性组合组成的向量组，称为α_1,α_2,...,α_m的重组向量组.

如：向量组(1):α1−α2,α2−2α3,α3−2α1,向量组(2):α1,α1+α2,都是α1,α2,...,αm的重组向量组.如：向量组(1):α_1-α_2,α_2-2α_3,α_3-2α_1,向量组(2):α_1, α_1+α_2,都是α_1,α_2,...,α_m的重组向量组.

显然，重组向量组可由原向量组线性表示:显然，重组向量组可由原向量组线性表示:

A左乘矩阵B  ⟺  A行向量组重组.A左乘矩阵B\iff A行向量组重组.

BA的行向量组可由A的行向量组线性表示.BA的行向量组可由A的行向量组线性表示.

A左乘可逆矩阵B  ⟺  A行向量组初等变换.A左乘可逆矩阵B\iff A行向量组初等变换.

BA，若B可逆，则BA的行向量组和A的行向量组等价.BA，若B可逆，则BA的行向量组和A的行向量组等价.

A右乘矩阵B  ⟺  A列向量组重组.A右乘矩阵B\iff A列向量组重组.

AB的列向量组可由A的列向量组线性表示.AB的列向量组可由A的列向量组线性表示.

A右乘可逆矩阵B  ⟺  列A列向量组初等变换.A右乘可逆矩阵B\iff 列A列向量组初等变换.

AB，若B可逆，则AB和A的列向量组等价.AB，若B可逆，则AB和A的列向量组等价.

注意

重组是未必可逆的线性变换，初等变换是可逆的线性变换，初等变换是重组的特殊情况。

A左乘列满秩矩阵B  ⟺  BA和A行向量组等价.A左乘列满秩矩阵B\iff BA和A行向量组等价.

BA，若B列满秩，则BA的行向量组和A的行向量组等价.BA，若B列满秩，则BA的行向量组和A的行向量组等价.

A右乘行满秩矩阵B  ⟺  AB和A列向量组等价.A右乘行满秩矩阵B\iff AB和A列向量组等价.

AB，若B行满秩，则AB的列向量组和A的列向量组等价.AB，若B行满秩，则AB的列向量组和A的列向量组等价.

注意

ATA的行、列向量组均与A的行向量组等价.A^TA的行、列向量组均与A的行向量组等价.

AAT的行、列向量组均与A的列向量组等价.AA^T的行、列向量组均与A的列向量组等价.

分块矩阵的秩

r(A00B)=r(0AB0)=r(A)+r(B).r\begin{pmatrix} A & 0 \\0 & B \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} 0 & A \\B & 0 \end{pmatrix}=r(A)+r(B).

r(AC0B)≥r(A)+r(B).r\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}\ge r(A)+r(B).

若A可逆或B可逆，则r(AC0B)=r(A)+r(B).若A可逆或B可逆，则r\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}=r(A)+r(B).

对于(AC0B)、(A0CB)、(CAB0)、(0ABC)，应分析C能否被消为0，分析方法如下：对于\begin{pmatrix} A & C \\0 & B \end{pmatrix}、\begin{pmatrix} A & 0 \\C & B \end{pmatrix}、\begin{pmatrix} C & A \\B & 0 \end{pmatrix}、\begin{pmatrix} 0 & A \\B & C \end{pmatrix}，应分析C能否被消为0，分析方法如下：

  • C的列向量组可由A的列向量组线性表示  ⟺  (A,C)可通过初等列变换化为(A,0).C的列向量组可由A的列向量组线性表示\iff (A,C)可通过初等列变换化为(A,0).

  • C的行向量组同理，不再赘述.C的行向量组同理，不再赘述.

列满秩和行满秩总结

矩阵列满秩  ⟺  秩=列数  ⟺  列向量组线性无关.矩阵列满秩\iff 秩=列数\iff 列向量组线性无关.

矩阵行满秩  ⟺  秩=行数  ⟺  行向量组线性无关.矩阵行满秩\iff 秩=行数\iff 行向量组线性无关.

可逆矩阵又称满秩矩阵，既是列满秩矩阵，又是行满秩矩阵.可逆矩阵又称满秩矩阵，既是列满秩矩阵，又是行满秩矩阵.

可逆矩阵是列（行）满秩矩阵的特例，列（行）满秩矩阵是可逆矩阵的推广.可逆矩阵是列（行）满秩矩阵的特例，列（行）满秩矩阵是可逆矩阵的推广.

矩阵A列满秩的结论

A为瘦高型矩阵，行数≥列数.A为瘦高型矩阵，行数\ge 列数.

A可通过初等行变换化为(E0).A可通过初等行变换化为\begin{pmatrix} E \\ 0 \end{pmatrix}.

存在可逆矩阵P，使得PA=(E0).存在可逆矩阵P，使得PA=\begin{pmatrix} E \\ 0 \end{pmatrix}.

r(B)=r(AB)=r(BAB).r(B)=r(AB)=r\begin{pmatrix} B \\ AB \end{pmatrix}.

B和AB的行向量组等价.B和AB的行向量组等价.

Bx=0和ABx=0同解.Bx=0和ABx=0同解.

AB=0  ⟺  B=0,AB=AC  ⟺  B=C.AB=0\iff B=0,AB=AC\iff B=C.

Ax=0只有零解，Ax=b若有解，则必唯一.Ax=0只有零解，Ax=b若有解，则必唯一.

ATA正定.A^TA正定.

矩阵B行满秩的结论

B为矮胖型矩阵，行数≤列数.B为矮胖型矩阵，行数\le 列数.

B可通过初等列变换为(E,0).B可通过初等列变换为\begin{pmatrix} E,0 \end{pmatrix}.

存在可逆矩阵Q，使BQ=(E,0).存在可逆矩阵Q，使BQ=\begin{pmatrix} E,0 \end{pmatrix}.

r(A)=r(AB)=r(A,AB).r(A)=r(AB)=r(A,AB).

A和AB的列向量组等价.A和AB的列向量组等价.

ABx=A有解.ABx=A有解.

AB=0  ⟺  A=0,AB=C  ⟺  A=C.AB=0\iff A=0,AB=C\iff A=C.

Bx=b必有解.Bx=b必有解.

BBT正定.BB^T正定.

AB=0、AB=0、AB=C总结

AB=E

A行满秩，B列满秩.A行满秩，B列满秩.

若A为方阵，则A−1=B.若A为方阵，则A^{-1}=B.

AB=0

B的列向量是Ax=0的解.B的列向量是Ax=0的解.

r(A)+r(B)≤n.r(A)+r(B)\le n.

若B≠0，则A列不满秩.若B\ne 0，则A列不满秩.

若A≠0，则B行不满秩.若A\ne 0，则B行不满秩.

AB=C

B是Ax=C的解.B是Ax=C的解.

r(A)=r(A,C)=r(A,AB).r(A)=r(A,C)=r(A,AB).

C的列向量组可由A的列向量组线性表示.C的列向量组可由A的列向量组线性表示.

C的行向量组可由B的行向量组线性表示.C的行向量组可由B的行向量组线性表示.

r(C)≤min{r(A),r(B)}.r(C)\le min\{r(A),r(B)\}.

重组向量组的线性相关性

重要思维：向量组和矩阵转化。

见Aα1,Aα2,...,Aαm,则写为矩阵形式(Aα1,Aα2,...,Aαm)=A(α1,α2,...,αm).见Aα_1,Aα_2,...,Aα_m,则写为矩阵形式(Aα_1,Aα_2,...,Aα_m)=A(α_1,α_2,...,α_m).

见β1,β2,...,βs为α1,α2,...,αm的重组向量组,则写为矩阵形式(β1,β2,...,βs)=(α1,α2,...,αm)Km×s.见β_1,β_2,...,β_s为α_1,α_2,...,α_m的重组向量组,则写为矩阵形式(β_1,β_2,...,β_s)=(α_1,α_2,...,α_m)K_{m×s}.

结论：

若α1,α2,...,αm线性无关,则β1,β2,...,βs的线性相关性和系数矩阵K的列向量组相同.若α_1,α_2,...,α_m线性无关,则β_1,β_2,...,β_s的线性相关性和系数矩阵K的列向量组相同.

因为(α1,α2,...,αm)列满秩，K左乘列满秩矩阵得到(β1,β2,...,βs)线性关系保持不变.因为(α_1,α_2,...,α_m)列满秩，K左乘列满秩矩阵得到(β_1,β_2,...,β_s)线性关系保持不变.

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2025/7/29 01:48
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